PROBLEMAS DE MOVIMIENTO ANGULAR

Conservación del momento angular

Problema 1

Dos esferas iguales de masas 6 kg y 20 cm de radio están montadas como se indica en la figura, y pueden deslizar a lo largo de una varilla delgada de 3 kg de masa y 2 m de longitud. El conjunto gira libremente con una velocidad angular de 120 rpm respecto a un eje vertical que pasa por el centro del sistema.

Inicialmente los centros de las esferas se encuentran fijos a 0.5 m del eje de giro. Se sueltan las esferas y las esferas deslizan por la barra hasta que salen por los extremos. Calcular:

• La velocidad angular de rotación cuando los centros de las esferas se encuentran en los extremos de la varilla.
• Hallar la energía cinética del sistema en los dos casos.

 Solución

Problema 2

Dos niños de 25 kg de masa cada uno están situados en el borde de un disco de 2.6 m de diámetro y 10 kg de masa. El disco gira a razón de 5 rpm respecto del eje perpendicular al disco y que pasa por su centro. ¿Cuál será la velocidad angular del conjunto si cada niño se desplaza 60 cm hacia el centro del disco?. Calcular la variación de energía cinética de rotación del sistema, y explica la causa del incremento de energía.

 Solución

Problema 3

Un niño de 25 kg está agachado sobre la tabla de un columpio desviado 30º de la vertical. La distancia entre el punto de suspensión y el c.m. del niño es 2 m.

• Calcular la velocidad angular ω₁ con la que llega a la posición de equilibrio.
• En esta posición, el niño se levanta rápidamente quedándose de pié sobre el columpio, con lo que eleva su centro de masa 30 cm. Como consecuencia su velocidad angular se incrementa. Calcular la velocidad angular ω₂,
• Calcula la máxima desviación θ, del niño cuando está de pié sobre el columpio.
• ¿Cuánto vale la tensión de la cuerda cuando pasa por la posición θ/2?.

 Solución

Problema 4

Un cubo de madera de 2 kg y 20 cm de arista, que descansa sobre una superficie horizontal sin fricción, está sujeto a una barra rígida de longitud 2 m y masa 300 g fijada a la superficie por un extremo en el punto O y por el otro al centro del cubo. Una bala de masa 50 g y velocidad 200m/s se incrusta en el cubo a la altura de su centro de masa (en la dirección perpendicular al cubo, tal como se muestra en la figura)

• ¿Cuál es la velocidad angular del sistema después del choque?.
• ¿Se conserva la energía en esta colisión?.

Momentos de inercia respecto de un eje que pasa por el cm del cubo: I= 1 6 m a 2  y de la varilla I= 1 12 m L 2 

 Solución

Problema 5

Un disco de masa 10 kg y radio 0.5 m está en reposo y puede girar en torno a un eje perpendicular al disco y que pasa por su centro. En la periferia del disco hay un dispositivo de masa despreciable, que permite lanzar un objeto de 200 g a una velocidad de 20 m/s, en la dirección y sentido indicado en la figura. Calcular:

• La velocidad angular del disco después del disparo
• El sentido en que gira.
• La variación de energía

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Problema 6

Obtener la fórmula del momento de inercia de una puerta de masa M, altura b y anchura a, respecto a un eje que pase a lo largo de su lado b.

Una puerta de masa M, se encuentra en reposo y es golpeada por una bola de masilla de masa m, tal como se muestra en la figura. La velocidad de la bola de masilla es v, y su dirección inicial es horizontal, formando un ángulo θ con la normal a la cara de la puerta, impactando a una distancia D del eje de la misma. Después de la colisión la bola se queda pegada a la puerta. Obtener:

• La expresión de la velocidad de la puerta después de la colisión.
• La variación de energía cinética del sistema (puerta más bola de masilla).

Datos m = 1.1 kg, M = 35 kg, a = 73 cm, b = 190 cm, D = 62 cm, θ = 22º, v = 27 m/s.

 Solución

Problema 7

Una bala de 100 g que lleva una velocidad horizontal de 50 m/s choca con el centro del cilindro de un péndulo. Después del choque la bala se mueve con una velocidad de 40 m/s. El péndulo gira alrededor de O y está formado por una varilla delgada de 200 g de masa y 20 cm de longitud, y un cilindro de 500 g de masa y 5 cm de radio.

• Calcular el ángulo máximo que gira el péndulo como consecuencia del choque y la energía perdida en el mismo.

 Solución

Problema 8

Una bala de 100 g de masa y 25 m/s de velocidad choca con una varilla delgada de masa M = 0.9 kg y longitud L = 45 cm, empotrándose en la misma 35 cm por debajo de su extremo superior. La varilla puede girar libremente alrededor de un eje perpendicular al plano del papel, que pasa por O. Determinar la velocidad angular del sistema varilla-bala inmediatamente después del choque. Calcular el máximo desplazamiento angular del sistema varilla-bala.

 Solución

Problema 9

Una bala de 100 g que lleva una velocidad de 12.5 m/s choca con el centro del disco de un péndulo, tal como se muestra en la figura. Después del choque, la bala queda empotrada en el centro del disco. El péndulo que gira en torno a un eje perpendicular que pasa por O, está formado por una varilla delgada de 200 g de masa y 20 cm de longitud y una lenteja de 500 g de masa y 5 cm de radio. Calcular la velocidad angular del sistema inmediatamente después del choque. Calcular el ángulo máximo que gira el péndulo como consecuencia del choque, y la energía perdida en el mismo.

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Problema 10

Disparamos una bala de 50 g con velocidad v contra un péndulo compuesto por una esfera y una barra, como indica la figura. Características de la barra: 40 cm de longitud, 200 g de masa; características de la esfera: 5 cm de radio y 500 g de masa. La barra está fijada por un punto O situado a 8 cm de su extremo.

• Si la bala se incrusta en el péndulo, calcular el valor mínimo de v para que el péndulo dé una vuelta completa.
• Si la bala atraviesa el péndulo y sale con velocidad v/2, calcular el ángulo de desviación máxima al que llegará el péndulo.

 Solución

Problema 11

Un péndulo está formado por una varilla delgada de 200 g de masa y 20 cm de longitud y una lenteja de forma cilíndrica 500 g de masa y 5 cm de radio. En el centro de la lenteja hay un dispositivo que lanza una partícula de 100 g con una velocidad de 12.5 m/s haciendo un ángulo de 30º con la horizontal tal como se muestra en la figura. Calcular la velocidad angular del péndulo inmediatamente después del disparo de la partícula. Calcular el máximo desplazamiento angular del péndulo

 Solución

Problema 12

Un sólido rígido en rotación en el plano horizontal con velocidad angular constante de 120 rpm, está formado por una varilla delgada de 2 kg de masa y 80 cm de longitud y dos esferas iguales de 6 kg y 10 cm de radio, tal como se muestra en la figura. Se dispara una bala de 300 g con velocidad v haciendo 30º con la horizontal. La bala se incrusta en el centro de la esfera.

• Cuál debe ser la velocidad v para que el sistema se pare después del choque.

 Solución

Problema 13

Un péndulo está formado por una varilla de 200 g de masa y 40 cm de longitud y dos esferas macizas: la superior de 500 g y 5cm de radio y la inferior de 400 g y 4 cm de radio, equidistantes 8 cm de los extremos de la barra. El péndulo se encuentra suspendido de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de la esfera superior. Sobre el centro de la esfera inferior incide una bala de 50 g y 10 m/s de velocidad que queda alojada en el centro de la esfera. Calcular Desplazamiento angular máximo del péndulo Solución El momento angular de la partícula es L=r×mv Su módulo es L =mvd=0.05·10·0.24·cos30 d es el brazo del momento lineal Momento de inercia del sistema formado por el péndulo y la bala incrustada  respecto de un eje que pasa por O I o =( 1 12 0.2· 0.4 2 +0.2· 0.12 2 )+ 2 5 0.5· 0.05 2 +( 2 5 0.4· 0.04 2 +0.4· 0.24 2 )+0.05· 0.24 2 =0.0322 kgm 2  Principio de conservación del momento angular mvd=Ioω=0, ω=3.225 rad/s Posición del centro de masa respecto de O x c = 0.2 · 0.12 + 0.4 · 0.24 + 0.05 · 0.24 0.5 + 0.2 + 0.4 +0.05 = 0.115   m  Principio de conservación de la energía. La energía cinética de rotación del sistema formado por el péndulo y la bala se transforma en energía potencial de su c.m.. 1.15 · 9.8 · ( x c − x c cos ⁡ θ ) = 1 2 I O ω 2     θ = 29.5º